Μαθηματική Ανάλυση
Η Ανάλυση είναι ο κλάδος των μαθηματικών που αναδύθηκε από τη μελέτη και επέκταση των εννοιών του ορίου και της απόστασης του Λογισμού. Θεμελιώδεις θεωρίες της Ανάλυσης είναι η διαφόριση, η ολοκλήρωση, οι ακολουθίες, οι σειρές, οι αναλυτικές συναρτήσεις και η θεωρία του μέτρου. Οι παραπάνω θεωρίες συνήθως μελετώνται και στο πλαίσιο των πραγματικών αριθμών και συναρτήσεων αλλά και των μιγαδικών. Θεωρείται ιστορικά κλάδος των θεωρητικών μαθηματικών, αν και οι θεωρίες της έχουν πολλές εφαρμογές τόσο σε άλλους κλάδους των μαθηματικών όσο και σε άλλες επιστήμες.
- Μιας μεταβλητής: Ακολουθίες , σειρές , συναρτήσεις , πολυώνυμα Taylor, δυναμοσειρές.
- Πολλών μεταβλητών: Όρια και διαφορισιμότητα συναρτήσεων, κανόνας αλυσίδας, κατευθυνόμενη παράγωγος, ακρότατα συναρτήσεων, θεώρημα αντιστροφής, συστήματα πεπλεγμένων συναρτήσεων.
- Μιας μεταβλητής: Ολοκλήρωμα κατά Darboux και κατά Riemann, θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού, μέθοδοι υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος, γενικευμένο ολοκλήρωμα, εμβαδά και όγκοι επίπεδων σχημάτων και επιφανειών εκ περιστροφής, μήκος καμπύλης, θεωρήματα εναλλαγής ολοκληρώματος-ορίου και ολοκληρώματος-αθροίσματος σειράς.
- Πολλών μεταβλητών: Διπλό και τριπλό ολοκλήρωμα, θεώρημα Fubini, θεώρημα αλλαγής μεταβλητής, εμβαδόν επιφάνειας και όγκος χωρίου, μη γνήσιο ολοκλήρωμα, επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα, θεωρήματα Green, Gauss, Stokes.
Μιγαδικοί αριθμοί και μιγαδικές συναρτήσεις, εξισώσεις Cauchy-Riemann, ολοκλήρωμα μιγαδικής συνάρτησης, θεωρήματα Cauchy, αρχή μεγίστου και ελαχίστου, σειρές και δυναμοσειρές, θεώρημα Taylor, σειρές Laurent, ανωμαλίες μιγαδικών συναρτήσεων, ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρμογές.
- Ακολουθίες πραγματικών αριθμών, limsup, liminf ακολουθίας, σειρές πραγματικών αριθμών, p-αδικές παραστάσεις αριθμών, σύνολο Cantor, συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης, ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων.
- Μετρήσιμα σύνολα, μέτρο Lebesgue στο ℜ, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue, θεώρημα μονότονης σύγκλισης, θεώρημα κυριαρχούμενης σύγκλισης, χώροι L^p , αφηρημένη θεωρία μέτρου.
Μετρικοί χώροι, ανισότητες Cauchy-Schwarz και Minkowski, ανοικτά-κλειστά σύνολα, είδη σημείων, ισοδύναμες μετρικές, πυκνά σύνολα, διαχωρίσιμοι μετρικοί χώροι, πλήρεις μετρικοί χώροι, συνέχεια, ισομετρίες, ισομορφισμοί, συμπαγείς μετρικοί χώροι, συνεκτικοί μετρικοί χώροι, νορμικοί χώροι.
- Προτασιακός Λογισμός: γλώσσα , τιμές αλήθειας, λογικά συμπεράσματα, επάρκεια συνδέσμων, αξιωματικοποίηση και πληρότητα του προτασιακού λογισμού, ανεξαρτησία των αξιωμάτων.
- Κατηγορηματικός Λογισμός: πρωτοβάθμιες γλώσσες, δομές, μοντέλα, αλήθεια, αξιωματικοποίηση και πληρότητα του πρωτοβάθμιου κατηγορηματικού λογισμού.
Αξιωματική Θεωρία Συνόλων Zermelo-Fraenkel (ZF), σύγκριση μεγέθους συνόλων, ισοπληθή σύνολα, θεωρήματα Schröder-Bernstein και Cantor, καλά διατεταγμένα σύνολα, διατακτικοί αριθμοί και πράξεις, υπερπεπερασμένη επαγωγή, πληθάριθμοι και πράξεις, αξίωμα επιλογής και τα ισοδύναμά του.
Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, γραμμικές, χωριζομένων μεταβλητών, ομογενείς, πλήρεις, ολοκληρωτικοί παράγοντες, εξισώσεις αναγόμενες σε γραμμικές (Bernoulli, Riccati), μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων Picard, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενείς γραμμικές εξισώσεις, μέθοδος μεταβολής παραμέτρων και μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών, συστήματα διαφορικών εξισώσεων, ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, μέθοδος των πινάκων, μετασχηματισμοί Laplace.
